Filosofía comprensible para todos

Sesión del 22 de abril del Seminario para América Latina"La Filosofía como Escuela de Vida". 

(Participa Argentina, Paraguay, Brasil, México y España).

Filosofía del amor y del dolor

 Seminario de Filosofía para América Latina (sesión del 15 de abril).

El sentido del dolor (coloquio, debate)

Interesantes intervenciones de los participantes en el Seminario de Filosofía para América Latina (Argentina, Paraguay, Brasil, México y España). Sesión del 8 de abril, 2021.

Comentarios de algunos textos de Schopenhauer y de Freud.

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LA CIENCIA (*)

La obra de Giuseppe Peano  y de su escuela ocupa un lugar destacado en la historia contemporánea de la ciencia sobre todo por la gran influencia que ejerció tanto en Italia como en Europa y en el concierto científico internacional. A pesar de la cautela de Peano respecto de las implicaciones filosóficas de su obra lógica, hay que destacar un momento clave en la difusión de su obra: el Congreso Internacional de Filosofía celebrado en París en 1900. Precisamente fue en un congreso de filosofía donde su obra y la de los discípulos de su escuela comenzaron a adquirir fama fuera de los confines de Italia y sus trabajos adquirieron renombre y se dieron a conocer universalmente. Dicho congreso estuvo articulado en cuatro sesiones: 1) Metafísica y Filosofía general. 2) Moral. 3) Lógica e Historia de la ciencia. 4) Historia de la Filosofía. En él participaron los más prestigiosos pensadores de la época, entre los que podemos destacar a H. Bergson, G. Cantor, L. Couturat, R. G. Frege, F. H. Poincaré, B. Russell, E. Schröder, G. Peano, G. Vailati.

El congreso fue inaugurado con una conferencia de E. Boutroux en la que realizó una reflexión acerca de la crisis en la que se encontraban las disciplinas filosóficas a causa del cada vez mayor protagonismo que iban adquiriendo las diversas ciencias particulares surgidas de nuevas especializaciones que diseñaban nuevos campos epistemológicos. En este sentido, la inclusión en el Congreso de la tercera sección (Lógica e Historia de la Ciencia) tuvo la importancia programática de proponer la reconstrucción de la perdida unidad de la filosofía partiendo del nuevo panorama epistemológico. “Solidaria con las ciencias, la filosofía participa, en una cierta medida, en las directrices de su desarrollo, que es el progreso a través de la división del trabajo y la convergencia de los esfuerzos, esto es, a través de la organización de la investigación”  “Ciertamente esta empresa debe resultar más difícil, quizás  irrealizable en el siglo veinte, pero los pensadores deben dedicar todos sus esfuerzos a la realización de tal proyecto. Aristóteles, Leibniz, y el mismo Hegel han podido comprender toda la ciencia de su tiempo. Pero la ciencia actual, la ciencia del porvenir, sobrepasa inexorablemente la capacidad de la inteligencia humana”. 

André Lalande, que fue uno de los impulsores de los Congresos Internacionales de Filosofía - como éste de 1900- estaba empeñado en potenciar el trabajo cooperativo entre los filósofos. En un artículo de 1898  y en una comunicación al Congreso Internacional de Filosofía de 1900 titulada: Sur la critique et la fixation du langage philosophique presenta un proyecto de unificación del lenguaje filosófico y propone la confección de un Vocabulario técnico y crítico de la filosofía, y el método a seguir para su elaboración.

Dentro de este espíritu globalizador y optimista que se vivía en aquellos congresos, se decidió abordar y resolver de un modo práctico el problema de una lengua universal y la primera consecuencia fue la creación de una Délegation pour l'adoption d'une langue auxiliaire international. En esta perspectiva se inscribe la realización del Vocabulaire technique et critique de la philosophie (1902-1923) que ocupó la actividad de Lalande durante más de veinte años. 

El propio Couturat como principal promotor de la formación de una mathesis universalis y absolutamente comprometido con el proyecto de la lengua universal, colaboró con Lalande en los primeros años del Vocabulaire (sobre todo en relación a la terminología correspondiente a la nueva lógica). […] El Vocabulaire se publicó periódicamente en el Bulletin de la Société française de philosophie (dirigido por Xavier Léon y el propio André Lalande) en la forma de fascículos, entre julio de 1902 (primer fascículo de la letra A) y febrero de 1922 (letra Z). 

[…] el Vocabulaire technique et critique de la philosophie fue traducida al español y publicada en 1953, lo que facilitó su gran difusión, además de España, en los países de América Latina. Durante el siglo XX han aparecido veinte ediciones en francés de esta obra de obligada consulta […] 

Nadie duda de la aportación de Peano en el sentido de dotar a las ciencias formales de eficaces medios simbólicos apropiados para una efectiva clarificación conceptual. […] Respecto de la lógica sus trabajos se encaminan en una línea instrumental orientada a analizar los conceptos matemáticos y en conseguir unos procedimientos adecuados para la formulación ordenada de las proposiciones matemáticas en un lenguaje riguroso. […] Frege y Russell formulan la tesis logicista de la reductibilidad de la matemática a la lógica. 

[…] Para los idealistas, sobre todo Croce, la lógica simbólica carece de la sólida justificación filosófica que caracteriza a la lógica tradicional y cae en el craso error de pretender asir las leyes del pensamiento al creer que puede reducirlo a términos, conceptos y proposiciones. 

Peano identifica en el lenguaje el instrumento privilegiado del encuentro intersectorial de las diversas disciplinas y al mismo tiempo, el ámbito apropiado para despejar clásicos problemas filosóficos desde siempre considerados aparentemente irresolubles, entre otros, la problemática del infinito, el de las clases totales o el de las proposiciones existenciales.

Su característica, en comparación con las definiciones de la lógica tradicional, consiste en el hecho de que mientras estas se presentan como explicaciones del significado de ‘una palabra’ o de un signo aislado, las definiciones implícitas (o condicionales) no se ocupan sino del significado de las diversas proposiciones o fórmulas en las cuales aparece la palabra o el signo en cuestión

Peano fundamenta sus investigaciones en un conocimiento amplio de la historia de las matemáticas en particular y de la ciencias en general. Esto le permite no caer en ningún tipo de dogmatismo epistemológico ya que él sabe muy bien, y eso sostuvo siempre, que el valor fundamental de una teoría es precisamente el de ser explicativa de los objetos o de los hechos de que se trate, que éstas tienen un valor instrumental y sobre todo, que ninguna teoría determinada puede ser impuesta por encima de otras teorías igualmente válidas. […] también están presente en el ánimo del autor las circunstancias, nada desdeñables, de la libertad de investigación y de la eficacia didáctica. Sin embargo, Peano siempre llamó la atención sobre una cuestión de procedimiento: una vez que se sigue el método que emana de una determinada teoría válida, debe seguirse de una manera coherente, sin recurrir a instrumentos dependientes de otras teorías.

Las investigaciones peaneanas modifican la metodología de la ciencia. Peano abre las puertas a una investigación filosófica de la ciencia que va más allá de una simple compresión genérica y lejana de la misma. La importancia que da a los datos históricos en la evolución de la ciencia, considerados no como meros elementos introductorios y contextuales, sino como formando parte de la ciencia misma, lo colocan en una postura bien alejada del cientificismo imperante en su época.

La preocupación pedagógica de Peano por los procedimientos didácticos no es algo tangencial en su pensamiento. Él es consciente que unos de los ejes fundamentales de desarrollo de la ciencia es su enseñanza en los claustros universitarios. Enseñanza que, por otra parte, debe ir siempre acompañada de la investigación. Para la correcta aplicación del método histórico en las instituciones educativas deben existir los fondos bibliográfico pertinentes, esto es, las fuentes. Y además debe ser posible poder consultarlas en sus lenguas originales. De ahí la importancia que le da Peano a la enseñanza de las dos lenguas clásicas fundamentales: el latín y el griego. Si reflexionamos sobre todo esto no podemos menos que sentir preocupación por el enorme retroceso - cuando no desaparición- que los estudios clásicos (lengua y filosofía) han experimentado en las escuelas y universidades españolas. Y esta cuestión no es sólo un perjuicio cultural sino algo que atenta profunda y directamente contra el corazón del método científico y la ciencia misma. […]. La cuestión didáctica muchas veces es tratada peyorativamente cuando forma parte capital del proceso histórico de la evolución del saber científico. 

Frege hace su aparición en el debate en 1895, situándose en el polo opuesto del psicologismo de Husserl, del formalismo de Hilbert y del constructivismo de Poincaré: los símbolos numéricos no tienen ningún significado autónomo, son expresiones de la creatividad del espíritu y sólo designan objetos. 

La primera sistematización de la lógica se debe a Peano que en 1888 publica como prefacio a su tratado Calculo geometrico secondo l’Ausdehnungslere di H. Grassman, una síntesis de las principales reglas lógicas. En estos años Peano descubre la relación existente entre el cálculo de clases y el cálculo de proposiciones. Y en el aspecto ideográfico introduce el signo de pertenencia de un individuo a una clase (e) que distingue rigurosamente del signo de inclusión de una clase en otra (É) El segundo momento de la elaboración del cálculo lógico lo encontramos en Arithmetices Principia nova metodo exposita, de 1889 y en los Principia di geometria logicamente sposti del mismo año.

Una de las ciencias en la que más se hacía notar el debate epistemológico de la época es la geometría. Precisamente este fue uno de los puntos de partida de Peano cuando  pudo constatar que algunas de las definiciones tenidas por válidas durante siglos en esta antigua disciplina eran inconsistentes. 

Las nuevas direcciones de la filosofía y de la ciencia requerían nuevas respuestas a los problemas epistemológicos planteados.

La disyuntiva que emerge de las discusiones de París queda planteada por un lado, por la postura de Poincaré y por otro, por la de Russell. Para el primero los axiomas de la geometría son convenciones, el segundo subraya el carácter analítico de estos axiomas. […] La solución la da Peano, quien tomando en consideración ambas vertientes del debate, encuentra la salida en el análisis del lenguaje de la ciencia. Por una parte, podríamos asimilar a Peano a la línea logicista, en la medida en que asume la autonomía del lenguaje lógico, en cuyo seno y sin salir de él, consigue encontrar los fundamentos de la axiomatización de la aritmética y la geometría, partiendo de su noción de definiciones por abstracción, que en realidad son de carácter analítico. En esto se puede considerar a Russell un discípulo suyo: no olvidemos que Russell escribe los Principia a su regreso del Congreso de París, inmediatamente después de haberse leído todos los escritos de Peano. Por otra parte, Peano habría asumido el convencionalismo al otorgarle al lenguaje formalizado de la ciencia un valor heurístico instrumental. El instrumentalismo lógico peaneano resuelve la polémica entre el ontologismo latente en la postura de Russell y el constructivismo intuicionista de Poincaré. El lenguaje lógico es analítico, pero al no ser único no puede tener pretensiones de ser la expresión formal de la realidad. Peano habla de “los lenguajes”, aceptando que pueden existir diversos lenguajes igualmente válidos para representar los axiomas de las matemáticas. Lo importante es la eficacia de un lenguaje. Eficacia, operatividad, utilidad y hasta “comodidad”.

De este modo Peano resuelve la cuestión de la axiomatización de las definiciones […] en el puro ámbito del lenguaje. Su método es analítico porque se aplica en el análisis del lenguaje, sin apoyarse en cuestiones metafísico-ontológicas (Russell, Wittgenstein), ni en cuestiones psicológicas y o gnoseológicas (Poincaré, Husserl, Bergson). Su método es instrumental porque está orientado a estructurar un lenguaje formal válido tanto para la expresión científica como para fundamentar en el propio lenguaje las proposiciones primitivas y los axiomas de la ciencia. Esta es la única manera de lograr un lenguaje universal para la ciencia, independientemente de posturas y escuelas filosóficas y de diversas técnicas de materialización ideográficas: para él la ideografía de Frege es tan válida como la suya, por tanto usar una u otra es una cuestión de mera elección (otra cosa es cuál sea más sencilla y clara, más “cómoda”, como diría Frege).

La unificación y universalización del lenguaje matemático.

La postura logicista, a la que podemos adscribir a Frege y a Russell, sostiene que existe un modelo matemático absoluto y que todos los términos de la matemática se pueden traducir a términos lógicos de manera tal que las proposiciones matemáticas admiten una traducción a proposiciones lógicas. Si tomamos como ejemplo la geometría euclideana, que es un sistema axiomático, podemos traducir todo lo que se afirma sobre rectas o planos a ecuaciones y éstas a estructuras numéricas que a su vez se traducirían en términos de conjuntos o de clases, o sea, a estructuras lógicas. Tanto Frege como Russell muestran que cuando hablamos de lenguaje matemático estamos formulando afirmaciones lógicas acerca de clasificaciones, propiedades de dichas clasificaciones o de conjuntos de clasificaciones. La perspectiva russelliana ofrece en los Principia una versión nueva de la matemática. Todo lo que podemos pensar y expresar con sentido en esta ciencia se encuentra presente en los enunciados de la lógica. La matemática sería un capítulo de la lógica y por tanto se ocuparía de objetos lógicos. Frege y Russell demuestran cómo los axiomas de los sistemas matemáticos se trasforman en verdades lógicas. Esto garantizaría la coherencia del discurso matemático y lo libraría de cualquier tipo de contradicciones internas o inconsistencias.

En Arithmetices Principia nova methodo exposita Peano adopta una postura clara en el sentido de una tradición filosófica marcada por la búsqueda de estructuras simbólicas que expresaran las principales ideas matemáticas, liberando a esta ciencia, en el análisis de sus fundamentos, de la ambigüedad de las expresiones lingüísticas usadas en el lenguaje ordinario. En esta obra nos propone las principales nociones de la lógica simbólica y su correspondiente simbología o notación lógica, aunque como él señala no todas son necesarias (algunas de ellas, según el propio autor, son incluídas por ‘simetría’): 

• Se define el uso de puntos y paréntesis, y se indica el modo correcto de leer las expresiones lógicas.

• Se introducen los conceptos de afirmación, negación, disyunción y conjunción entre proposiciones. Se propone el signo  para la implicación.

• Se enuncian cuarenta y tres proposiciones, entre las cuales las diez primeras se consideran proposiciones primitivas.

• Se introduce el concepto de clase y el símbolo  equivalente a ser miembro de una clase. 

El Formulario recoge tratados completos de matemática elemental y superior en escritura ideográfica que, según Peano, resulta legible en todos los idiomas. Dicha escritura está basada en el simbolismo leibniziano que, a su vez, se apoya en el cálculo infinitesimal. 

En el siglo XIX los matemáticos admitían sin demostración algunas ideas acerca de las cuales posteriormente se ha demostrado su falsedad. Precisamente fue Peano quien puso en evidencia algunas de esas inexactitudes y falsedades. Y esto fue posible gracias a su método, que revolucionó la historia de las matemáticas y fue punto de partida de futuras y fecundas revisiones, como la de Russell en los Principia mathematica. Por ejemplo, basados en la mera intuición estos matemáticos del siglo XIX enunciaban que “toda curva admite una tangente”, esto es que toda función continua es derivable. Sin embargo, Peano rebate este enunciado al construir una curva que llena todos los puntos de un cuadrado y que, por tanto, no puede tener tangentes.

A raíz de este tipo de críticas los matemáticos de entonces comenzaron a demandar un más estricto carácter científico a su disciplina y mayor rigor a sus razonamientos. La mayoría de ellos coincidieron en que la respuesta a sus exigencias estaba en la Lógica y de ese modo, comenzaron a someter sus teorías a severas revisiones con el auxilio de los nuevos instrumentos lógicos 

Como resultado de las revisiones efectuadas Peano saca las siguientes conclusione: 

* Todas las definiciones matemáticas son nominales. Sin embargo, la lógica escolástica clasificaba las definiciones en reales y nominales.

* La regla de Aristóteles “per genus proximum et differentiam specificam” no vale para todas las definiciones. Aquí observa que en la lengua ordinaria no siempre es fácil evitar ciertas tautologías, pero en el lenguaje científico resultan inadmisibles.

* Peano opina que en matemáticas es posible definir cosas que no existen, cuestión con la que ya estaba de acuerdo Aristóteles y que jamás podría haber aceptado Russell. 

* Las definiciones proceden de lo conocido a lo desconocido.

* Definiciones por inducción y definiciones por abstracción. 

* Ideas primitivas: son aquéllas que no pueden ser definidas en relación a un determinado orden de ideas. Por ejemplo, no es posible definir el signo ‘=’, ya que aparece en toda definición. Ésta es una idea primitiva, aunque no tiene carácter absoluto, sino que tiene un carácter relativo a un determinado sistema de ideas que suponemos conocido. Aristóteles también admite proposiciones primitivas.

La lógica penetra en las matemáticas de dos maneras: por la lengua técnica ordinaria y por el simbolismo específico. Pero el lenguaje ordinario no es apto para las matemáticas dada su gran ambigüedad. Ninguna lengua natural es compatible con la precisión y concisión que necesita el lenguaje de la matemática y de cualquier otra ciencia. 

Los logicistas sostenían que los enunciados de la lógica no pueden entrar en contradicciones. Pero en 1897, un discípulo de Peano, Cesare Burali-Forti descubrió las llamadas paradojas lógicas, lo cual ponía en evidencia que la lógica a la cual la matemática debía ser traducida también podía llevar a contradicciones. Russell, en 1903, abunda en la cuestión de las paradojas lógicas en la línea de algunas observaciones que había realizado George Cantor quien cuando ya había ultimado su teoría de los conjuntos, habría descubierto que el empleo de conjuntos en relación con algunas de la ideas más básicas de la lógica - por ejemplo, el principio de tercero excluido- llevaba a contradicciones. Frege había intentado resolver estas contradicciones, con lo cual lo único que consiguió fue poner en evidencia la incapacidad de su propia lógica para construir el modelo lógico absoluto que pretendía. El modelo logicista entraba en crisis. Los ajustes de Russell reorientaron esta línea de sistematización de las matemáticas a partir de las valiosas aportaciones de Peano.

Posteriormente Alfred Tarski, el frustrado discípulo de Peano, sostenía que había que modificar la lógica y construir otra estructura diferente a la clásica de Aristóteles -incluidas las correcciones de Frege y Russell-. 

La solución al problema de la eliminación de las contradicciones presentes en las paradojas lógicas la da Peano con la construcción de su sistema formal axiomático.

La formalización de la lógica como lenguaje universal de la ciencia.

Aunque existieron con anterioridad otras propuestas al respecto, Leibniz fue el primer filósofo que presentó un proyecto coherente y con posibilidades efectivas, de creación de un lenguaje o escritura universal en la cual todas las ideas complejas fuesen expresadas, según ciertas reglas, por medio de signos convencionales que representen ideas simples. 

De lo que Leibniz llamó characteristica universalis se esperaba la solución de todos los problemas y el fin de todas las disputas ("Si surgieran controversias no habrían más motivos de disputa entre dos filósofos que entre dos contables. Sólo bastaría que, lápiz en mano, se sentaran a la mesa y se dijeran - quizás con un amigo como testigo- calculemos”). Tal optimismo resulta excesivo ya que siempre existirán problemas cuya solución sea incierta y disputas que el cálculo no pueda resolver. Pero, en gran medida, el sueño de Leibniz se ha vuelto realidad. “Los filósofos, naturalmente, no se han dado cuenta (de esto), pero los matemáticos, al menos en Italia, tienen ahora la facultad de tratar los principios de las matemáticas con una autoridad y una precisión que es también extensible a la filosofía de la matemática. 

Según Peano, con el desarrollo de la escritura algebraica, que tanto se ha perfeccionado después de Leibniz, se ha conseguido que por medio de signos del tipo: +, -, =, >, ... , paréntesis, corchetes, llaves y letras del alfabeto, se pueda escribir de manera simbólica cualquier proposición. Pero lo que verdaderamente ha hecho posible el sueño de Leibniz ha sido la “nueva e importante ciencia que se llama Lógica matemática, que estudia las propiedades formales de las operaciones y las relaciones lógicas.

[…]

Peano y Frege son los primeros matemáticos que trabajando en la definición del concepto de cero inventan la lógica simbólica. De todos modos, Peano y Frege representan dos vertientes diferentes pero complementarias en cuanto a la axiomatización y sistematización de la actual lógica simbólica. Es una cuestión de opciones, pero ambas vías son fecundas y conducen a buen puerto. […] La notación de Peano es, en definitiva, la que ha triunfado. 

Para abundar en el carácter fundacional que tiene la obra de Peano respecto de la actual lógica simbólica, resulta significativo lo que escribe B. Russell (que se considera discípulo suyo) en My mental development:

"En julio de 1900 se celebra un Congreso Internacional de Filosofía en París, con ocasión de la Exposición Universal. Wthitehead y yo decidimos tomar parte y así fue como acepté una invitación  a presentar una relación/ponencia... El congreso dejó una huella importante en mi vida intelectual porque fue en aquella ocasión que encontré a Peano. Lo conocía ya de nombre y había leído alguna de sus obras pero no me había tomado el trabajo de asimilar sus símbolos. Durante las discusiones del congreso me di cuenta que (Peano) era siempre más preciso que todo los demás y que en todas las discusiones resultaba invariablemente el más brillante. Con el paso de los días me convencí de que esto debía depender de su lógica matemática, por lo que le pedí todas sus obras y apenas se clausuró el congreso me retiré a Ferhurst para estudiar con toda tranquilidad todo lo que él y sus discípulos habían escrito. Me di cuenta que su método de notación proporcionaba el instrumento de análisis lógico que había buscado durante años y que estudiando su obra estaba logrando una técnica de trabajo nueva y potente que deseaba desde hacía mucho tiempo. A fines de agosto ya conocía a fondo los trabajos de su escuela. Empleé el mes de setiembre en extender su método a la lógica de relaciones. Si lo vuelvo a pensar me parece que durante todo aquel mes cada jornada fue cálida y llena de sol. Los Whitehead fueron nuestros huéspedes en Fernhurst y yo lo ilustré a él sobre mis nuevas ideas. Todas las tardes las discusiones se encallaban en algún obstáculo y cada mañana me daba cuenta que la dificultad de la tarde anterior se había resuelto sola, durante la noche.

Fue un período de embriaguez intelectual. Mis sensaciones se asemejaban a las que se tienen mientras se escala una montaña entre la niebla y de repente se encuentra el sendero al disolverse la bruma y el panorama se ofrece nitidísimo en un radio de cuarenta millas. Durante años había buscado analizar los elementos fundamentales de la matemática... De repente, en pocas semanas, descubrí respuestas definitivas a problemas que durante años habían permanecido irresolutos para mí. Y mientras,descubría que tales respuestas aplicaban una nueva técnica matemática que me permitía conquistar para el territorio del rigor de las fórmulas exactas regiones que anteriormente habían estado abandonadas a la imprecisión de los filósofos. Puedo afirmar que desde el punto de vista intelectual, septiembre de 1900 fue el ápice de mi existencia. Me repetía continuamente que finalmente había hecho algo que valía la pena... Envié un artículo a Peano para su revista, en el cual exponía mis nuevas ideas. A principios de octubre comencé a escribir The Principles of Mathematics, trabajo que había intentado muchas veces inútilmente"

Reducción de una teoría a símbolos.

Se puede reducir una teoría completa a símbolos, ya que todo lenguaje hablado, o escrito, es un simbolismo o sistema de signos que representan ideas. […] Recíprocamente, para transformar las fórmulas en lenguaje ordinario, es decir, para leer las fórmulas, no se debe leer cada signo aisladamente , sino considerar en conjunto todo el grupo de signos. Con cierta práctica se adquiere el hábito de transformar  rápidamente los símbolos en lenguaje ordinario y viceversa.

Las reglas de la lógica para transformar un conjunto de hipótesis en la tesis que se quiere probar, son análogas a las leyes del álgebra para transformar un conjunto de ecuaciones en una forma en la cual sean resueltas. Estas leyes no han sido creadas por nadie, se las obtiene examinando los razonamientos bien hechos. Las reglas del razonamiento son las fórmulas mismas de la lógica. Estas reglas son muy numerosas. En realidad, son todo lo numerosas que se quiera, pero aquéllas de uso más frecuente son pocas y muy simples y de ellas se derivan todas las demás que son consecuencias de éstas.

En el Diccionario de matemáticas  Peano presenta una lista de los términos matemáticos más usuales de su época, en la que se precisan los significados según su etimología, su historia o su definición. El Diccionario no pretende ser una obra cerrada ni tampoco prescriptiva, sino que lo propone como guía para los autores en la elección de los términos adecuados para su trabajo y tiene el valor de ser una obra preparatoria para obtener una terminología escolástica uniforme, cuestión en la que se interesó la Sociedad Mathesis en el Congreso de Turín de 1898. Para el matemático piamontés es muy importante que el diccionario sea una obra de colaboración y que antes de considerarlo acabado hayan participado en él un gran número de personas en las aclaraciones, discusiones y aportaciones. Esto se llevó a la práctica al pie de la letra y existen numerosos testimonios  que evidencian cómo importantes estudiosos de la época se dieron a esta labor.

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(*) AGÜERO MCKERN, E. Giuseppe Peano. Las matemáticas, la lógica y los lenguajes. Madrid, CFE, 2017. pp.88-127 (resumen).